Clases de vectores

Adición de vectores

      Normas para la adición de Vectores.

      Adición de vectores.

      En la Adición de vectores. Procedemos de la siguiente forma para determinar el vector suma de varios vectores dados por flechas, se dibujan en forma consecutiva, es decir, origen del segundo tiene que coincidir con el extremo del primero, el origen del tercero que coincide con el extremo del segundo, y así se continúa hasta dibujar el último, entonces.

 

      Vector resultante.

      El vector resultante se obtiene uniendo el origen del primero con el extremo del segundo.

      Observación.

      Cuando un vector hay que dibujarlo en otro lugar del plano es necesario que solamente se altere su punto de aplicación, por lo tanto, este nuevo vector tiene que ser paralelo, de igual longitud y del mismo sentido que el vector dado o, en otras palabras, tiene que ser equipolente con el vector dado.

     Adición de Vectores diferente sentidos.

       Cuando sumamos dos vectores con direcciones diferentes, usamos dos sistemas para realizar la suma o adición: Sistema del triángulo y Sistema del paralelogramo.

Cálculos vectoriales

Normas para el Cálculo Vectorial

      Reglas para el cálculo vectorial.

      Cálculo vectorial.

      Cuando efectuamos operaciones con vectores significa que dado dos o más vectores, llamados Componentes vamos a determinar un solo vector denominado resultante, o un número.

 

      En la Adición o suma de vectores.

      Nos da como resultado otro vector, que se le denomina vector resultante.

      En la Sustracción o resta de Vectores.

      En la sustracción de vectores será posible siempre y cuando el vector minuendo sea mayor que el sustraendo, para que de un vector resultante o producto.

      En la multiplicación de un vectores.

      Nos da como resultado otro vector, o da un vector por un número da como resultado otro vector.

      En la multiplicación de dos vectores.

      Procedemos de dos formas.

1.       Como producto escala, siendo el resultado un número.
2.       Como producto vectorial, siendo el resultado un vector o vector resultante.

 

Clases de Vectores

Los Componentes de un Vector

      Componentes de un vector

      Cuando un vector está situado en un sistema de coordenada puede representarse por la coordenada de un punto, cuya Abscisa y ordenada es igual a la diferencia de las coordenadas de los puntos que forman el extremo y el origen, en esta orden.

 

1.       A las coordenada de estos puntos se le denomina componentes de un vector
2.       En la figura los componentes del vector

               →

             AB son

 

Componentes de

→

AB = [(X2 - X1), (Y2 - Y1)]



Clases de Vectores

Vectores en un sistema de coordenadas

        Representación de un vector.

      Todos los vectores están limitados por dos puntos uno es el punto de origen y dos es el extremo, por lo cual están definidos por las coordenadas de dichos puntos.

Vectores en un sistema de coordenadas

 

      Si consideramos los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), el vector  

→

AB está definido por sus ordenadas (A, B).

Vectores equipolentes

Vectores Equipolentes concepto

 

 

      Vectores equipolentes

       Vectores equipolentes son aquellos que siendo paralelo tienen el mismo sentido y la misma longitud.

 

      Geométricamente, dos vectores equipolente son iguales y se denotan.

 

    

→   →

a  ῀   b

Vectores equipolentes

   

 

       Se les reconoce porque forman el polígono que resulta de unir los orígenes entre sí y los extremos entre sí es un paralelogramo.  



Vectores perpendiculares

Vectores Concepto perpendiculares

Los Vectores perpendiculares. son aquellos cuyas rectas soporte son perpendiculares. También se les llama ortogonales.

      

Clase de vectores

Clase de vectores base conceptuales

 

      Clase de vectores son: Vector unitario, nulo, paralelos, opuesto, consecutivos, perpendiculares y equipolentes.

 

      Vector unitario. Es el vector cuyo módulo vale uno.

 

      Vector nulo. Es el vector cuyo módulo vale cero o, de otra manera, cuando el punto extremo coincide con el punto origen, y se denota.→

                                                                   0.

      Vector paralelos. estos vectores están situados sobre rectas paralelas, y pueden ser del mismo sentido o de sentido contrario.

 



Vectores consecutivos

      Vectores consecutivos. Dos vectores se llaman consecutivos cuando el extremo del primero coincide con el origen del segundo. Ejemplo.

 

 

Vector fijo

Vector fijo o vector ligado

      El vector fijo se caracteriza porque está situado sobre una recta soporte y en ella están determinados los puntos origen y extremo.

 

      Un vector fijo se traslada sobre la misma recta, su efecto no se altera.

Vecto libre

Vector Libre

 

       Vector libre concepto. Un vector se caracteriza porque no tiene recta soporte, por lo tanto, no están determinados los puntos origen y extremo.

 

       El efecto de un vector libre no se altera al trasladarlo paralelamente así mismo o, de otra manera, puede representarse por cualquier vector equipolente con él. 

Elementos de un vector

Conceptos Elementales de

Un vector.

 

      Elemento de un vector. Todo vector contiene las siguientes forma de organización, a.   Su dirección, b.   Su sentido u orientación, c.   Su punto de aplicación, d.   Su longitud o módulo.

 

      1.   El punto de aplicación: es el punto donde se aplica el vector.

      2.   La dirección: está determinada por la recta que contiene al vector.

      3.   El sentido: está indicado por la punta de flecha colocada en un extremo del segmento.

      4.   El módulo es el número que presenta a la medida.

 

      Para denotar los vectores sistematizamos de la siguiente manera uno, dos.

 

      1)   Colocamos una flecha encima de las letras que determina el sentido. como lo expresamos en la imagen siguiente.

Regla uno para denotar vectores

 

 

      2)   Usando una letra con una flecha sobre ella, como lo mostremos en la imagen adjunta.

Regla dos para denotar vectores

 

      norma para denotar el módulo, de un vector seguimos dos procedimientos:

 

      1.   Cuando el vector esta dado por un solo literal, el módulo asemos su notación de la siguiente manera con el misma literal pero sin la flecha.

 

      Ejemplo: módulo de:

 

→

a es a;

      Ejemplo del módulo de:

→

b es b;

 

      2.   Cuando el vector está dado por los literales de origen y de del extremo el módulo lo denotamos con la notación de valor absoluto.

       Ejemplo: El módulo de:

→

AB es  

→ |AB|

Ejemplo: El módulo de :

→

BC es   

→

|BC|

 

 



Vector filo o vector ligado.

Concepto de Vector fijo o ligado.

 

      El Vector fijo o vector ligado. Es un segmento de recta orientado por una punta de flecha dibujada en uno de sus extremos y que indica la dirección o sentido de la recta.

 

                                  

Vector fijo o vector ligado.

      El segmento ab de la figura está orientado a hacia b y se denota:

→ = ab

      El punto de a se denomina origen, el punto b celada el nombre de extremo y la recta R se llama recta soporte.

     



Representación gráfica de funciones reales

Reglas y procedimientos Representación

Gráfica de funciones reales

 

1.       Para hacer la representación gráficas de una Función real trabajamos con la imagen de los elementos del Dominio mediante la fórmula dada por la función.
2.       Los pares ordenados que obtenemos los representaciones en unos ejes de coordenada.
3.       Colocando la primera componente del par Abscisa, en el eje X.
4.       El segundo componente Ordenada, en el eje compuesto por el eje Y.

     En las Funciones de la forma.

R:F

→

R.

1.       El dominio es formado por el por el conjunto infinitos los números que forman el conjunto R: es imposible hallar todas las imágenes, y mientras no se diga  lo contrario, se toma arbitrariamente.
2.       Los números reales que necesitamos, hallamos sus imágenes, representados en las coordenada estos pares continuos.
3.       Estos pares continuos unidos con una línea continua.
4.       La línea continua se transforma en la representación gráfica de una función.
5.       en las función para facilitar las anotaciones en lugar de escribir f(x) escribimos y como la imagen de X.

      Ejemplo Practico. Dado la función f(x) = 3x-1, hacer su representación gráfica para los números; 1,2,3 y 4.

 

      Accionamos de la siguiente manera: En la función f(x) = y = 3x-1, sustituimos la x por cada uno de los números que nos dan para encontrar sus imágenes.

 

      Con los números y sus imágenes formamos la Tabla de valores y de esta tabla de valores creamos la representación gráfica.

 

Cálculo de las imágenes y de los pares.

 

y = 3x-1, para x = 1,2,3 y 4

 

     

y = 3x-1;	Para x = 1 → y =	3(1)-1 =	3-1 =	2 → y =	2 → par A(1,2)
y = 3x-1;	Para x = 2 → y =	3(2)-1 =	6-1 =	5 → y =	5 → par B(2,5)
y = 3x-1;	Para x = 3 → y =	3(3)-1 =	9-1 =	8 → y =	8 → par C(3,8)
y = 3x-1;	Para x = 4 → y =	3(4)-1 =	12-1 =	11 → y =	11 → par D(4,11)

      Representación Gráfica


Representación Gráfica

Representación gráfica de puntos. Ejemplo

Ejemplo de las Representación

Gráfica de puntos

Representación gráfica de puntos
En un sistema de coordenada cartesianas

      En un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares situar cada uno de los siguientes puntos.

      A(3,2); B(-3,4); C(-2.-4); D(4,-2); E(3,0); F(0,4); G(-4,0) y H(0,-4)

 

Razonamos y comenzamos el proceso de construcción, paso uno construimos el sistema de coordenada cartesiana, dos empezamos a ubicar cada uno de los puntos en él situamos a cada uno de los puntos trazando perpendiculares a los ejes por los números que corresponden a sus coordenadas, tres tomando en cuenta, que el primer número corresponda al eje de las X, y el siguiente al eje de las Y. Cuarto La intersección de las perpendiculares correspondientes a las coordenadas de cada punto determinan el punto del plano. Como los puede constatar con la gráfica o imagen Adjunta.

 



Representación gráfica de puntos

Normas para la representación

Gráfica de puntos

 

Representación gráfica de puntos

        a. El punto P(X1,Y1) se representa en coordenadas cartesianas trazando perpendiculares por los números X1 e Y1 de los Ejes.

 

      b.   En el punto en que concuerdan de esta perpendiculares nos da el punto de función en el plano cartesiano.

 

      Como podemos observar en la gráfica de Imagen Adjunta 

 

Pendientes de segmentos

Pendientes en un sistema de

Coordenada Cartesiana

 

 

Pendientes de segmentos de recta en
un eje de coordenada

Ejemplo b)  En la siguiente imagen, podemos determinar la pendiente de cada una de los siguientes segmentos.

 

 El procedimiento 1.   Tomamos dos puntos cualquiera del segmento vaya pendiente vamos a calcular.

 

2.   Dividimos la diferencia de la ordenada de dichos puntos entre la distancia de sus abscisas correspondientes.

 

     3.   El resultado de esta división es la pendiente de la recta.

                                                      ___

    1.    Procedimiento   Segmento AB Extraemos los puntos A y B, de la coordenada A(X,Y) = A(1,2) y B(X,Y) =     B(5,4).

 

   2.   Procedimiento.

      a.   Tomamos eje de Y2 - Y1 sustituimos por los datos antes dados Y2 = 4 - Y1 = 2 esto es igual a decir ordenadas  4 - 2 = 2. 

 

      b.   Extraemos los ejes X2 - X1 sustituimos por los datos de X2 = 5 - X1 = 1 esto es igual Abscisas   5 - 1 = 4.

 

   3.   Procedimiento                                                 ___

      Procedemos de la manera siguiente: Pendiente AB = Diferencia Ordenadas = Y2 - Y1 =  2

                                      ___                                               Diferencia Abscisas         X2 - X1     4

   Respuesta: Pendiente AB =   2 =  1  .

                                                  4     2

      Procedemos a determinar si los números son divisibles o Tienen mitad, dos (2) tiene mitad que es = 1 y cuatro (4) tiene mitad que es = 2.

                                                          ___

       1.    Procedimiento   Segmento CD. Extraemos los puntos C y D, de la coordenada

C(X,Y) = C(2,8) y D(X,Y) = D(10,8).

 

2.   Procedimiento.

    a.   Tomamos eje de Y2 - Y1 sustituimos por los datos antes dados Y2 = 8 - Y1 = 8 esto es igual a decir ordenadas  8 - 8 = 0. 

   b.   Extraemos los ejes X2 - X1 sustituimos por los datos de X2 = 10 - X1 = 2 esto es igual Abscisas   10 - 2 = 8.

 

3.   Procedimiento                                                    ___

      Procedemos de la manera siguiente: Pendiente CD = Diferencia Ordenadas = Y2 - Y1 =  0 =0

                                      ___                                               Diferencia Abscisas         X2 - X1     8

   Respuesta: Pendiente CD =   0 = 0.

                                                  8    

     

 1.    Procedimiento   Segmento AB Extraemos los puntos A y B, de la coordenada

E(X,Y) = E(14,1) y F(X,Y) =     F(8,5).

 

   2.   Procedimiento.

      a.   Tomamos eje de Y2 - Y1 sustituimos por los datos antes dados Y2 = 5 - Y1 = 1 esto es igual a decir ordenadas 5 - 1 = 4. 

 

      b.   Extraemos los ejes X2 - X1 sustituimos por los datos de X2 = 8 - X1 = 14 esto es igual Abscisas   8 - 14 = - 6.

 

   3.   Procedimiento                                                 ___

      Procedemos de la manera siguiente: Pendiente CD = Diferencia Ordenadas = Y2 - Y1 =   4

                                      ___                                               Diferencia Abscisas         X2 - X1    - 6

   Respuesta: Pendiente CD =   4 = -   2  .

                                                - 6        3

      Procedemos a determinar si los números son divisibles o Tienen mitad, cuatro (4) tiene mitad que es = 2 y meno seis  (- 6) tiene mitad que es = - 3, se coloca el signo del número mayor, que en este caso es (- 3) signo negativo.   



Pendiente de una recta

Representación Grafica de una

Recta en un sistema cartesiano

 

Pendiente de una recta.

      Pendiente de una recta: Se le denomina pendiente de una recta, situada en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, al cociente que se obtiene al dividir la diferencia de las ordenadas correspondientes.

 

      En la figura adjunta las coordenadas de A Son las siguientes (X1, Y1) y las B son (X2, X1).

                                             ____

      En el triangulo ABC, el  AC  es igual a la

 

                                                         ___

 diferencia de las abscisas y el lado BC es igual a la diferencia de las ordenadas, por lo tanto:

 

      Pendiente de la Recta D = Diferencia de ordenadas

                                                 Diferencia de abscisas

      Observación. Al efectuar restas, se toma como minuendo el punto más alejado del origen y como como sustraendo el más cercano.

 

Coordenadas de un punto (Abscisa, Ordenada)

Coordenadas de un punto (Abscisa, Ordenada)

 

      En este análisis de las coordenadas podremos describir como se de nota o interpreta un dibujo de coordenada, fijándonos de los datos que están dentro de dicha grafica de coordenada y así podremos extraer la información que nos dan en el sistema de coordenada para ubicar el punto (abscisa, Ordenada). Ejemplo.

Punto (Abscisa, Ordenada

Punto (Abscisa, Ordenada) Ejemplo, a.   Identificar las Coordenadas de los puntos en el dibujo del sistema de coordenada como el dato adjunto.

 

Comenzamos de la siguiente manera: Para determinar las coordenadas de cualquier punto que el primer punto corresponde a los ejes X, el segundo al eje de las Y.

 

Respuesta. a.   A(X,Y) = A(5,2).
Respuesta b.   B(X',Y) = B(-5,1).
Respuesta c.   C(X',Y') = C(-4,-4).
Respuesta d. E(X,Y) = E(3,0).
Respuesta e.   F(X,Y) = F(0,3).
Respuesta f.   G(X',Y) = F(-4,0).
Respuesta g.   H(X,Y') = H(0,-1).

En esta Tabla de datos podemos Observar Mejor los Puntos de los del sistema de Coordenada cartesiana.

Punto	Cuadrante I		Punto	Cuadrante II		Punto	Cuadrante III		Punto	Cuadrante IV
	X	Y		X	Y’		X’	Y’		X’	Y
A	5	2	H	0	-1	C	-4	-4	B	-5	1
E	3	0							G	-4	0
F	0	3



 

Coordenadas de un punto

Coordenadas de un punto

 

 

Coordenada de un punto

 Seda un punto A cualquiera del plano de coordenadas.

 

A' es la proyección de A sobre el eje 0X y A'' es la proyección de A sobre el eje 0Y.

 

                     ____

La distancia 0A'  = X, se llama abscisa y

                    ____

la distancia  0A''  = Y, se le denomina ordenada.

A la pareja de números (X,Y) del punto A y se anota A(X,Y) colocando en primer lugar la abscisa y en segundo lugar la ordenada.

Punto(Abscisa, Ordenada)



Sistema de coordenadas cartesianas

Sistema de Coordenadas cartesianas

 





 

Sistema de coordenadas cartesiana

Es el sistema formado por dos rectas perpendiculares entre sí, lo nombramos ejes de coordenadas.

 

El punto de corte o de origen de estas rectas se denomina punto de origen o punto cero (0).

 

A cada uno de los ejes lo dividimos en parte iguales y toman el nombre de ejes (Y), (X), (Ý') y (X') formando cuatro cuadrantes.

 

En el Cuadrante de derecho no encontramos con el cuadrante de Y e X  o cuadrante I (uno) cuyo ejes son positivo, el cuadrante II (dos) que esta compuesto por un (1) eje positivo que es X y otro negativo que es Y', el Cuadrante III (tres) los dos ejes son negativos Y' e X' y el cuadrante IV (Cuatro) que el eje X' es negativo y el Y es positivo.